통계 기초 : 확률 분포 - (1) 이항분포

Binomial distribution

이항분포에 앞서 베르누이분포가 있다.

모든 가능한 결과가 두 가지인 실험(표본공간이 {불량품, 양호품},{찬성, 반대} 등)을 베르누이 시행(Bernoulli trial)이라 한다.

성공확률을 p라고 할 때, '성공'이면 1, '실패'면 0으로 대응시키는 확률변수를 베르누이 확률변수라 한다. 베르누이 확률변수 X의 확률분포는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ P(X=x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, x=0,1 $$

따라서, X=0인 경우에는 P(X=0) = (1-p)이고, X=1인 경우에는 P(X=1) = p가 된다.

베르누이분포의 평균은 E(X)=p, Var(X)=p(1-p) 이다.

이처럼 동일한 성공확률을 가진 베르누이 시행을 독립적으로 반복하여 시행할 때, 'X=성공횟수'의 분포를 이항분포(binomial distribution)이라 한다.

성공확률이 p인 베르누이 시행을 n번 독립적으로 반복 시행할 때, '성공횟수(=X)'가 x일 확률은 다음과 같이 표시할 수 있다.

$$ P(X=x) = (\frac{n}{x})p^{x}(1-p)^{n-x}, x=0,1,2, ..., n $$

이항분포의 평균은 E(X)=np, 분산은 Var(X)=np(1-p) 이다.

증명은 https://proofwiki.org/wiki/Variance_of_Binomial_Distribution 참고하면 된다.

여기에서 n, p를 이항분포의 모수(parameter)라 한다.

만약 n=1이라면, 이항분포 B(n, p)는 '1(성공)'의 확률이 p인 베르누이분포이다.

참고로 모수는 모집단의 특성값으로, 평균, 분산, 성공확률 등을 예시로 들 수 있다.