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오즈비의 성질 Odds Ratio

  오즈비는 임상에서 굉장히 많이 사용되는 개념이기도 하고, 로지스틱 회귀에서도 모형의 해석에서 굉장히 중요한 개념이다. 오즈비는 처음에는 이해하기 어렵지만, 이해를 하고나면 그 다음부터 쉽게 해석할 수 있고, 오즈비가 가진 여러 성질들도 이해할 수 있다.


 📋오즈비의 성질을 살펴보기 위해 아래와 같은 표를 만들었다.


Infarction
Yes No Total
Drug Used 28 41 69
Never 35 132 167
Total 63 173 236



📉 먼저 위 표를 바탕으로 상대위험도(Relative Risk)를 구해보자.
✔ Drug used 그룹에서 Infarction Yes의 비율을 구해보자
 ⇨ Infarction Yes : 28/69 =  𝛑1

✔ 이번에는 Drug never used 그룹에서 Infarction Yes의 비율을 구해보자
 ⇨ Infarction Yes : 35/167 = 𝛑2

❗이 경우 상대위험도(Relative Risk; RR)는 다음과 같다.

RR = 𝛑1 / 𝛑2 = (28/69) / (35/167)



📈 이번에는 Odds를 구해보자

✔ Drug used 그룹의 Odds = Odds1 라고 한다면
 Odds1 = 𝛑1/(1-𝛑1) = 28/41

✔ Drug never used 그룹의 Odds = Odds2 라고 한다면
 Odds2 = 𝛑2/(2-𝛑2) = 35/132

❗ 따라서 오즈비(Odds Ratio)는 다음과 같다. 

OR = (28*132)/(41*35) = 2.576



위에서 상대위험도와 오즈비를 기초로 구하였고, 이제 본격적으로 오즈비의 성질에 대해 살펴보도록 한다.

오즈비를 θ 라 하자.
Drug use 여부를 X, Infarction 여부를 Y 라고 하자.


(1) 오즈비의 첫 번째 성질

두 변수 X 와 Y 가 서로 독립일 때 ➞ 즉,  𝛑1 = 𝛑2 ➞ Odds1=Odds2 ➞ θ = 1


정리하면,
θ = 1 ➞ 두 변수 X 와 Y 가 독립

θ > 1 ➞ 첫 번째 행(=Drug use 그룹)에서의 성공의 Odds가 두 번째 행(=Drug X)의 Odds 보다 크다. ➞ 𝛑1 > 𝛑2

θ < 1 ➞ 첫 번째 행(=Drug use 그룹)에서의 성공의 Odds가 두 번째 행(=Drug X)의 Odds 보다 작다. ➞ 𝛑1 < 𝛑2


❗ 위에서 구한 오즈비는 2.576으로 독립이 아니라고 할 수 있다.



(2) 오즈비의 두 번째 성질

❗ θ 가 1에서 멀어질수록 더 강한 연관성을 나타낸다. 

✔ θ 가 1 보다 클 때 (θ > 1)
오즈비가 4라는 것은 오즈비가 2일 때에 비해 독립성에서 더 멀어진 것이다.

✔ θ 가 1 보다 작을 때 (θ < 1)
0.25의 오즈비는 0.5의 오즈비를 갖는 경우보다 독립성에서 더 멀어진 것이다.

➭ 서로 역수 관계에 있는 오즈비는 방향만 반대일 뿐, 같은 정도의 연관성을 나타낸다.

if θ = 0.25 = Odds1이 Odds2의 0.25배
0.25의 역수는 1/(0.25)=4 이므로 Odds2가 Odds1의 4배라는 의미이다.




❓ 만약 행이 바뀌거나 열이 바뀐다면?

-먼저 행이 바뀌는 경우를 살펴보자.

Infarction
Yes No Total
Drug Never 35 132 167
Used 28 41 69
Total 63 173 236


Drug never used 그룹의 Odds = Odds1 = 28/41
Drug used 그룹의 Odds = Odds2 = 35/132

오즈비 = (35*41)/(28*132) = Odds1/Odds2 = 0.39 = 2.576 의 역수 = 1/2.576

따라서 Drug never used 그룹의 Odds는 Drug used 그룹의 Odds에 비해 0.39배이다.
이를 다르게 표현하면 Drug used 그룹의 Odds는 Drug never used 그룹의 "0.39의 역수"인 2.576배 이다.

따라서 행이 바뀌거나 혹은 열이 바뀌면 오즈비는 역수가 된다.




❓ 만약 행과 열이 서로 바뀐다면?

-행을 반응변수로 열을 설명변수로 다루거나, 행을 설명변수로 열을 반응변수로 다루더라도 오즈비는 변함이 없다.

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