수리통계학 - 이산형 확률변수의 확률분포

 이산형 확률분포의 종류

 - 베르누이분포, 이항분포, 이산형균등분포, 기하분포, 초기하분포, 음이항 분포, 포아송 분포 등

이산형 확률변수의 적률생성함수는 다음과 같은 형태로 표현된다.

$$M_{X}(t)=E(e^{tX})=\sum_{x=0}^{\infty}e^{tx}f(x)$$

1. 베르누이 분포

베르누이 시행의 확률변수 X의 분포는 X=1의 확률에 의해 정의된다. (X=0 or 1)

P=P(X=1)=P(성공)

베르누이 시행의 확률질량함수 f(x)는

$$f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, x=0, 1$$

베르누이 분포의 기댓값과 분산은 다음과 같다.

E(X)=p, Var(X)=p(1-p)

베르누이분포의 적률생성함수는 다음과 같다.

$$M(t)=E(e^{tx})=(1-p)+pe^{t}$$

적률생성함수 유도 과정은 아래와 같이 진행할 수 있다.

$$M(t)=E(e^{tX})=\sum_{x=0}^{1}e^{tx}f(x)=\sum_{x=0}^{1}e^{tx}p^{x}(1-p)^{1-x}=e^{0}p^{0}(1-p)^{1}+e^{t}p^{1}(1-p)^{0}=(1-p)+pe^{t}$$

적률생성함수를 t에 대해 1차 미분한 후 t값에 0을 대입하면 평균을 도출할 수 있다.

베르누이 분포의 적률생성함수를 1차 미분하면 

$$M(t)=(1-p)+pe^{t}\Rightarrow M^{'}(t)=\frac{d}{dt}(1-p+pe^{t})=pe^{t} \Rightarrow M^{'}(0)=p$$

2. 이항분포

베르누이 시행을 독립적으로 n번 반복하여 시행한 경우, 성공한 총 횟수를 X라 정의하면, 이 확률변수 X는 이항분포를 따른다.

이항분포의 확률질량함수 f(x)는 다음과 같다.

$$f(x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}, x= 0,1,2,...,n$$

이항분포의 기댓값 E(X)=np, Var(X)=np(1-p) 이다.

이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수의 적률생성함수는 다음과 같다.

$$M(t)=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}f(x)=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=[(1-p)+pe^{t}]^{n}$$

만약 n이 1이라면 베르누이분포의 적률생성함수가 된다.

3. 포아송분포

포아송분포는 이항분포에서 반복횟수인 n이 충분히 크고 성공률 p가 0에 가까울 정도로 작으면서 평균이 np=⋋일 때의 분포이다.

포아송분포는 이항분포와 밀접한 관계가 있는데, p의 값이 매우 작고 평균이 일정할 때 n이 커지면 이항분포는 포아송분포로 표현된다.

n ⇨ ∞ , p ⇨ 0 이며, np=⋋라고 가정하면 아래 식이 성립한다.

$$ \displaystyle \lim_{ n\to \infty}\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x} $$

위 식을 풀어보면,

$$\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=\displaystyle \lim_{ n\to \infty}\frac{n(n-1)\cdots (n-x+1)}{x!}(\frac{\lambda}{n})^{x}(1-\frac{\lambda}{n})^{n-x}$$

또 위의 식을 풀어보면 다음과 같다.

$$\frac{\lambda^{x}}{x!}\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}(1-\frac{\lambda}{n})^{-x}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{x-1}{n})$$

위 식에서 다음 성질을 만족하기 때문에

$$\displaystyle \lim_{ n\to \infty}(1-\frac{\lambda}{n})^{n}=\displaystyle \lim_{ n\to \infty}[(1-\frac{\lambda}{n})^{\frac{n}{-\lambda}}]^{-\lambda}=e^{-\lambda}$$

다음과 같이 이항분포가 n이 매우 커지고 p값이 작을 때 포아송분포로 근사함을 표현할 수 있다.

$$\lim_{ n\to \infty}\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}$$

포아송분포의 확률질량함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$f(x)=P(X=x)=\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}, x=0,1,2,\cdots (\lambda>0)$$

확률질량함수를 통해 포아송분포의 적률생성함수를 아래와 같이 도출할 수 있다.

$$M(t)=\sum_{x=0}^{\infty}e^{tx}\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(\lambda e^{t})^{x}}{x!}$$

이를 테일러 전개를 이용하여 정리하면 

$$M(t)=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(\lambda e^{t})^{x}}{x!}=e^{\lambda(e^{t}-1)}$$  

위 적률생성함수를 t에 대해 1차 미분한 후 t에 0을 대입하면, 포아송분포의 기댓값을 구할 수 있다.